178. a) \(\frac{9x^2 - 6x + 1}{9x^2 - 1}\)

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \( 9x^2 - 6x + 1 \) — это полный квадрат разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Здесь \( a = 3x \) и \( b = 1 \). Поэтому \( 9x^2 - 6x + 1 = (3x - 1)^2 \).

Знаменатель: \( 9x^2 - 1 \) — это разность квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \). Здесь \( a = 3x \) и \( b = 1 \). Поэтому \( 9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1) \).

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

\( \frac{(3x - 1)^2}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{(3x - 1)(3x - 1)}{(3x - 1)(3x + 1)} \)

Сокращаем общий множитель \( 3x - 1 \).

\( \frac{3x - 1}{3x + 1} \)

Ответ: \( \frac{3x - 1}{3x + 1} \)