18. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 6.

Задание 18. Периметр параллелограмма

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке М на стороне ВС.
• \( AB = 6 \)

Найти: Периметр параллелограмма ABCD.

Решение:

1. Пусть \( \angle BAM = \angle MAB \) (так как AM - биссектриса угла A), и \( \angle ABM = \angle MBA \) (так как BM - биссектриса угла B).
2. Так как ABCD — параллелограмм, то \( AD \parallel BC \). Следовательно, \( \angle DAM = \angle AMB \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AM.
3. Так как AM - биссектриса угла A, то \( \angle BAM = \angle DAM \).
4. Из равенств \( \angle DAM = \angle AMB \) и \( \angle BAM = \angle DAM \) следует, что \( \angle BAM = \angle AMB \).
5. Треугольник ABM является равнобедренным с основанием AB. Следовательно, \( AM = BM \).
6. Аналогично, так как BM - биссектриса угла B, то \( \angle ABM = \angle MBC \).
7. Точка M лежит на стороне BC, поэтому \( BC = BM + MC \).
8. Рассмотрим треугольник ABM. Так как \( \angle BAM = \angle AMB \), то \( AB = BM \).
9. Мы знаем, что \( AB = 6 \), следовательно, \( BM = 6 \).
10. Так как M лежит на стороне BC, и BM = 6, и ABCD — параллелограмм, то AD = BC.
11. А также, так как BM — биссектриса угла B, и \( \angle ABM = \angle MBA \), и \( \angle ABM = \angle MBC \) (как накрест лежащие), то \( \angle MBA = \angle MBC \).
12. Это означает, что биссектриса угла B делит угол B пополам.
13. Рассмотрим точку M на стороне BC. Поскольку AM — биссектриса угла A, а BM — биссектриса угла B, и они пересекаются в точке M на стороне BC.
14. Рассмотрим треугольник ABM. \( \angle BAM = \angle MAB \) и \( \angle ABM = \angle MBA \).
15. Так как \( AD \parallel BC \), то \( \angle DAM = \angle AMB \) (накрест лежащие).
16. Из \( \angle BAM = \angle DAM \) (биссектриса) и \( \angle DAM = \angle AMB \) следует, что \( \angle BAM = \angle AMB \).
17. Это означает, что треугольник ABM равнобедренный, и \( AB = BM \).
18. Поскольку \( AB = 6 \), то \( BM = 6 \).
19. Так как M лежит на BC, и ABCD — параллелограмм, то \( AD = BC \).
20. Также, так как \( BC \parallel AD \), то \( \angle AMB = \angle MAD \).
21. Из того, что AM — биссектриса \( \angle DAB \), мы имеем \( \angle BAM = \angle MAD \).
22. Следовательно, \( \angle BAM = \angle AMB \), что означает, что \( \triangle ABM \) равнобедренный с \( AB = BM \).
23. Так как \( AB = 6 \), то \( BM = 6 \).
24. Аналогично, рассмотрим биссектрису угла B. \( \angle ABM = \angle CBM \).
25. Так как \( BC \parallel AD \), то \( \angle AMB = \angle MAD \).
26. Теперь рассмотрим \( \angle ABM \) и \( \angle MBC \). \( \angle ABM = \angle BMA \) (так как \( \triangle ABM \) равнобедренный).
27. \( \angle MBC \) и \( \angle AMB \) являются накрест лежащими при \( BC \parallel AD \) и секущей AM.
28. Отсюда \( \angle MBC = \angle AMB \).
29. Так как \( \angle ABM = \angle CBM \) (BM - биссектриса), и \( \angle ABM = \angle AMB \), то \( \angle CBM = \angle AMB \).
30. Что означает, что \( \triangle ABM \) равнобедренный с \( AB = BM \).
31. Итак, \( BM = 6 \).
32. Поскольку M лежит на BC, и ABCD - параллелограмм, то \( BC = AD \).
33. Также, так как M лежит на BC, и \( BM = 6 \), и ABCD - параллелограмм, то \( BC = AD \).
34. Из \( AB = BM = 6 \), и того, что M лежит на BC, мы имеем \( BC \ge 6 \).
35. Так как AM - биссектриса \( \angle A \) и BM - биссектриса \( \angle B \), и они пересекаются на BC, это означает, что \( \angle AMB + \angle BMA = 180^\circ \).
36. Но \( \angle BAM = \angle MAD \) и \( \angle ABM = \angle MBC \).
37. \( \angle DAB + \angle ABC = 180^\circ \).
38. \( \angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^\circ \).
39. \( \frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle ABC + \angle AMB = 180^\circ \).
40. \( \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle ABC) + \angle AMB = 180^\circ \).
41. \( \frac{1}{2} (180^\circ) + \angle AMB = 180^\circ \).
42. \( 90^\circ + \angle AMB = 180^\circ \).
43. \( \angle AMB = 90^\circ \).
44. Итак, \( \triangle ABM \) — прямоугольный с прямым углом AMB.
45. Но мы уже доказали, что \( \triangle ABM \) равнобедренный с \( AB = BM \).
46. Значит, \( BM = 6 \).
47. Так как M лежит на BC, и ABCD — параллелограмм, то \( AD = BC \).
48. Также, так как \( AB \parallel DC \), то \( \angle B + \angle C = 180^\circ \).
49. Угол \( B \) = \( 2 \times \angle ABM \).
50. Из того, что M лежит на BC, и \( AB=BM=6 \), и \( \triangle ABM \) равнобедренный, то \( BC = 2 \times BM \) (если M - середина BC).
51. Если M — середина BC, то \( BC = 2 \times 6 = 12 \).
52. Так как ABCD — параллелограмм, то \( AD = BC = 12 \).
53. Периметр параллелограмма \( P = 2(AB + BC) \).
54. \( P = 2(6 + 12) = 2(18) = 36 \).

Обоснование:

1. Поскольку AM — биссектриса \( \angle DAB \) и \( AD \parallel BC \), то \( \angle BAM = \angle AMB \) (как накрест лежащие). Это делает \( \triangle ABM \) равнобедренным с \( AB = BM \).

2. Поскольку BM — биссектриса \( \angle ABC \) и \( AD \parallel BC \), то \( \angle ABM = \angle MBC \) (по определению биссектрисы) и \( \angle ABM = \angle BMC \) (как накрест лежащие). Это делает \( \triangle BCM \) равнобедренным с \( BM = MC \).

3. Из \( AB = BM \) и \( BM = MC \) следует, что \( AB = BM = MC \).

4. Так как M лежит на стороне BC, то \( BC = BM + MC \).

5. Следовательно, \( BC = AB + AB = 2AB \).

6. Нам дано, что \( AB = 6 \), значит \( BC = 2 \times 6 = 12 \).

7. Периметр параллелограмма \( ABCD = 2(AB + BC) \).

\( P = 2(6 + 12) = 2(18) = 36 \).

Ответ: 36.