18. К окружности с диаметром AB проведена касательная. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружность в точке C и касательную в точке K. Через точку C проведена хорда CD параллельно AB так, что получилась трапеция ACDB. Через точку D проведена касательная, пересекающая прямую AK в точке E. Найдите длину отрезка AK, если прямые DE и BC параллельны и EDC = 30°, AB = 9.

Так как CD || AB, то ACDB - равнобедренная трапеция. Следовательно, AC = BD.

Угол EDC = 30°. Так как DE - касательная, то угол между касательной и хордой равен углу, опирающемуся на эту хорду с той же стороны дуги. Угол между касательной DE и хордой DC равен углу DBC. Следовательно, угол DBC = 30°.

Так как BC || DE, то угол ACB = угол EDC = 30° (как накрест лежащие при параллельных прямых BC и DE и секущей AC).

В прямоугольном треугольнике ABC (угол ACB = 90°, так как опирается на диаметр AB), угол CAB = 90° - угол ABC = 90° - 30° = 60°.

В прямоугольном треугольнике AKB (угол AKB = 90°, так как BK - касательная), угол ABK = 90° - угол KAB = 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике AKB: AK = AB * sin(30°) = 9 * (1/2) = 4.5.