18. Касательные в точках M и N к окружности с центром O пересекаются под углом 35 градусов. Найдите угол O?

Решение:

Рассмотрим четырехугольник MONK, где K — точка пересечения касательных. Углы OMN и ONM равны 90°, так как радиусы OM и ON перпендикулярны касательным в точках касания.

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

\( \angle MON + \angle OMN + \angle MNK + \angle ONM = 360^{\circ} \)

\( \angle MON + 90^{\circ} + 35^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle MON + 215^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle MON = 360^{\circ} - 215^{\circ} = 145^{\circ} \)

Ответ: 145°