18. Марина загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 574. Какую цифру зачеркнула Марина? Запишите решение и ответ.

Решение:

1. Свойство числа: Любое четырёхзначное число \( N \) можно представить как \( 1000a + 100b + 10c + d \), где \( a, b, c, d \) - его цифры. Сумма цифр равна \( S = a + b + c + d \). Разность \( N - S = (1000a + 100b + 10c + d) - (a + b + c + d) = 999a + 99b + 9c \), что всегда делится на 9.
2. Поиск числа: Полученное число 574. Зачеркивая одну цифру, Марина получила 574. Это значит, что исходное число было трёхзначным (после зачёркивания). Значит, исходное четырёхзначное число было близко к 574, но больше.
3. Рассмотрим варианты:
• Если зачеркнутая цифра - первая (перед 5): Полученное число 574. Исходное число было бы вида \( X574 \). Число, полученное после вычитания суммы цифр, делится на 9. Попробуем подобрать \(X\). Сумма цифр числа \( X574 \) равна \( X+5+7+4 = X+16 \). Число \( X574 - (X+16) = 999X + 99*5 + 99*7 + 9*4 \). Это число делится на 9. Если мы знаем, что результат после зачеркивания - 574, значит, исходное число было трехзначным (т.е. \( X=0 \)), что противоречит условию (четырехзначное).
• Если зачеркнутая цифра - вторая (5): Полученное число 574. Исходное число было бы вида \( X574 \) → \( X \text{ ___ } 74 \). Это не подходит.
• Если зачеркнутая цифра - третья (7): Полученное число 574. Исходное число было бы вида \( X574 \) → \( X5 \text{ ___ } 4 \).
• Если зачеркнутая цифра - четвертая (4): Полученное число 574. Исходное число было бы вида \( X57 \text{ ___ } \).
• Наиболее вероятный сценарий: Исходное число было четырёхзначным, и после вычитания суммы цифр получилось число, у которого одна цифра была зачеркнута, а остальные сложились в 574.
• Искомое число должно делиться на 9. Попробуем числа, близкие к 574, которые делятся на 9.
• Ближайшее число, делящееся на 9, это \( 576 \) (5+7+6=18).
• Если исходное число было \( 576 \), но это 3 цифры, значит, исходное было 4-значным.
• Рассмотрим числа, оканчивающиеся на 574 или имеющие 574 как часть.
• Если мы зачеркнули цифру и получили 574, то исходное число могло быть:
• \( 574X \) (где X - зачеркнутая цифра). Если \( X=0 \), то 5740. Сумма цифр = 16. \( 5740 - 16 = 5724 \). Зачеркнув 2, получаем 574.
• \( 57X4 \) (где X - зачеркнутая цифра). Если \( X=6 \), то 5764. Сумма цифр = 22. \( 5764 - 22 = 5742 \). Зачеркнув 2, получаем 574.
• \( 5X74 \) (где X - зачеркнутая цифра). Если \( X=7 \), то 5774. Сумма цифр = 23. \( 5774 - 23 = 5751 \). Зачеркнув 5, получаем 571 (не 574).
• \( X574 \) (где X - зачеркнутая цифра). Если \( X=5 \), то 5574. Сумма цифр = 21. \( 5574 - 21 = 5553 \). Не подходит.
• Проверим вариант: Марина загадала число \( 5724 \).
• Сумма его цифр: \( 5 + 7 + 2 + 4 = 18 \).
• \( 5724 - 18 = 5706 \).
• Если Марина зачеркнула цифру 0, то получила 576 (не 574).
• Попробуем иначе: число, полученное после вычитания суммы цифр, делится на 9. Получившееся число 574. Сумма цифр 5+7+4=16. 16 не делится на 9. Значит, зачеркнутая цифра была частью числа, которое делится на 9.
• Если исходное число делилось на 9, то \(N - S\) делится на 9.
• Пусть исходное четырёхзначное число \(N\). \(N - S = K \). \(K\) делится на 9. \(K\) стало 574 после зачеркивания.
• Добавим к 574 различные цифры (0-9) и проверим, делится ли полученное число на 9.
• 5074: 5+0+7+4=16 (не делится)
• 5174: 5+1+7+4=17 (не делится)
• 5274: 5+2+7+4=18 (делится на 9!)
• 5374: 5+3+7+4=19 (не делится)
• 5474: 5+4+7+4=20 (не делится)
• 5574: 5+5+7+4=21 (не делится)
• 5674: 5+6+7+4=22 (не делится)
• 5774: 5+7+7+4=23 (не делится)
• 5874: 5+8+7+4=24 (не делится)
• 5974: 5+9+7+4=25 (не делится)
• Итак, возможное число, которое было до зачеркивания - 5274.
• Это означает, что Марина зачеркнула цифру 2.
• Проверим: если Марина загадала число \( N \), и \( N - S = 5274 \).
• \( N = 5274 + S \). \( S \) - сумма цифр \(N\).
• Если \( N = 5274 \), то \( S = 5+2+7+4 = 18 \). \( 5274 + 18 = 5292 \). Это не 5274.
• Если \( N = 5283 \) (сумма цифр 18), \( 5283 - 18 = 5265 \).
• Если \( N = 5292 \) (сумма цифр 18), \( 5292 - 18 = 5274 \).
• Число, которое загадала Марина - 5292.
• Сумма его цифр: \( 5+2+9+2 = 18 \).
• \( 5292 - 18 = 5274 \).
• Из числа 5274 зачеркнули цифру 2, получили 574.

Ответ: 2