18. Тип 17 № 7773 В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 10 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 11, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в два раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе? Запишите решение и ответ.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем, сколько головок сыра съела каждая мышка в первую ночь.
• В первую ночь мышки съели 10 головок сыра. Количество мышек неизвестно, обозначим его как \( N \).
• Каждая мышка съела \( \frac{10}{N} \) головок сыра.
2. Шаг 2: Определяем, сколько головок сыра съела каждая мышка во вторую ночь.
• Во вторую ночь каждая мышка съела в 2 раза меньше, чем в первую.
• Количество сыра на мышку во вторую ночь: \( \frac{10}{N} : 2 = \frac{10}{2N} = \frac{5}{N} \) головок.
3. Шаг 3: Определяем, сколько всего головок сыра было съедено во вторую ночь.
• Во вторую ночь пришло 11 мышек.
• Всего во вторую ночь съели: \( 11 \cdot \frac{5}{N} = \frac{55}{N} \) головок сыра.
4. Шаг 4: Составляем уравнение, так как во вторую ночь доели весь оставшийся сыр.
• Общее количество съеденного сыра = сыр, съеденный в первую ночь + сыр, съеденный во вторую ночь.
• Общее количество сыра = \( 10 + \frac{55}{N} \).
• Мы не знаем, сколько мышек пришло в первую ночь, но знаем, что 11 мышек во вторую ночь доели ВСЁ. Это значит, что \( 10 + \frac{55}{N} \) - это общее количество сыра.
• Однако, в задаче есть неявная информация: если во вторую ночь 11 мышек съели \( \frac{55}{N} \) сыра, а каждая съела \( \frac{5}{N} \), то количество мышек в первую ночь \( N \) должно быть таким, чтобы \( \frac{55}{N} \) было полным числом (или можно было бы съесть).
• Проблема в том, что количество мышек в первую ночь не указано. Но мы знаем, что 11 мышек съели оставшийся сыр, и каждая съела в 2 раза меньше, чем накануне.
• Пусть \( x \) - количество головок сыра, съеденных одной мышкой в первую ночь.
• Пусть \( k \) - количество мышек в первую ночь. Тогда \( k imes x = 10 \) головок.
• Во вторую ночь каждая мышка съела \( \frac{x}{2} \) головок.
• Всего во вторую ночь было 11 мышек, и они съели остаток сыра.
• Количество съеденного во вторую ночь: \( 11 imes \frac{x}{2} \).
• Общее количество сыра = \( 10 + 11 imes \frac{x}{2} \).
• Здесь есть недоопределенность. Однако, если предположить, что количество мышек в первую ночь было таким, чтобы \( \frac{10}{k} \) было целым числом, и \( \frac{5}{k} \) было разумным значением.
• Давайте переформулируем: Пусть \( S_{1} \) - количество сыра, съеденного одной мышкой в первую ночь. \( S_{2} \) - количество сыра, съеденного одной мышкой во вторую ночь. \( k_{1} \) - количество мышек в первую ночь, \( k_{2} = 11 \) - количество мышек во вторую ночь.
• \( k_{1} imes S_{1} = 10 \)
• \( S_{2} = \frac{S_{1}}{2} \)
• \( k_{2} imes S_{2} = ext{остаток сыра} \)
• \( 11 imes \frac{S_{1}}{2} = ext{остаток сыра} \)
• Общее количество сыра = \( 10 + ext{остаток сыра} = 10 + \frac{11 S_{1}}{2} \)
• Из \( k_{1} imes S_{1} = 10 \) мы знаем, что \( S_{1} = \frac{10}{k_{1}} \).
• Тогда общее количество сыра = \( 10 + \frac{11}{2} imes \frac{10}{k_{1}} = 10 + \frac{55}{k_{1}} \).
• Чтобы \( S_{2} \) было разумным, \( S_{1} \) должно быть четным числом, если \( S_{2} \) должно быть целым, или \( S_{1} \) должно быть таким, чтобы \( \frac{11 S_{1}}{2} \) было разумным.
• Если предположить, что \( S_{1} = 2 \) (т.е. каждая мышка съела по 2 головки), то \( k_{1} = 10 / 2 = 5 \) мышек было в первую ночь.
• Тогда \( S_{2} = 2 / 2 = 1 \) головка сыра съела каждая мышка во вторую ночь.
• Общий остаток сыра во вторую ночь: \( 11 \text{ мышек} \times 1 ext{ головка/мышка} = 11 \) головок сыра.
• Общее количество сыра = \( 10 ext{ (первая ночь)} + 11 ext{ (вторая ночь)} = 21 \) головка сыра.

Ответ: 21 головка сыра.