18. Тип 18 № 348613. Диагональ равнобедренной трапеции образует с ее основанием угол 45°. Найдите длину высоты трапеции, если ее основания равны 2 и 5.

Решение:

Пусть \( a = 5 \) (большее основание) и \( b = 2 \) (меньшее основание).

Опустим высоту \( h \) из вершины меньшего основания на большее. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, диагональю и частью большего основания. Угол между диагональю и большим основанием равен \( 45^{\circ} \).

В таком прямоугольном треугольнике, если один из острых углов равен \( 45^{\circ} \), то другой острый угол также равен \( 45^{\circ} \), и треугольник является равнобедренным.

Следовательно, высота \( h \) равна отрезку большего основания, который отсекает диагональ. Этот отрезок равен \( x \).

Длина большего основания \( a = 5 \). Мы можем записать:

\[ a = b + 2x \]

Так как \( h = x \), мы имеем:

\[ 5 = 2 + 2h \]

Вычтем 2 из обеих частей:

\[ 3 = 2h \]

Найдем высоту:

\[ h = \frac{3}{2} = 1.5 \]

Ответ: 1.5