18 Тип 18 № 462098 На клетчатой бумаге изображен треугольник АВС. Во сколько раз отрезок АМ короче отрезка СМ?

1. Определим координаты вершин треугольника, приняв сторону клетки за единицу. Пусть $$A = (0, 1)$$, $$B = (3, 4)$$, $$C = (5, 0)$$. Точка $$M$$ находится на стороне $$AC$$. По рисунку, $$M$$ делит $$AC$$ в соотношении $$1:2$$. Координаты $$M = (\frac{2 \times 0 + 1 \times 5}{1+2}, \frac{2 \times 1 + 1 \times 0}{1+2}) = (\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$$.

2. Найдем длину отрезка $$AM$$. $$AM = \sqrt{(\frac{5}{3}-0)^2 + (\frac{2}{3}-1)^2} = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{26}{9}} = \frac{\sqrt{26}}{3}$$.

3. Найдем длину отрезка $$CM$$. $$CM = \sqrt{(5-\frac{5}{3})^2 + (0-\frac{2}{3})^2} = \sqrt{(\frac{10}{3})^2 + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{100}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{104}{9}} = \frac{\sqrt{104}}{3} = \frac{2\sqrt{26}}{3}$$.

4. Найдем отношение $$CM$$ к $$AM$$: $$\frac{CM}{AM} = \frac{2\sqrt{26}/3}{\sqrt{26}/3} = 2$$. Отрезок $$AM$$ короче отрезка $$CM$$ в 2 раза.