18. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Решение:

Для решения данного задания необходимо проанализировать каждое неравенство и сравнить его с предложенными решениями.

• Неравенство A)
  \[ \frac{x-1}{x-4} \ge 0 \]
  Это дробно-рациональное неравенство. Корнями числителя и знаменателя являются x=1 и x=4 соответственно. Применим метод интервалов. Тестируем интервалы:
  
  • x < 1: например, x=0. \( \frac{0-1}{0-4} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} \ge 0 \) - верно.
  • 1 \( \le \) x < 4: например, x=2. \( \frac{2-1}{2-4} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \ge 0 \) - неверно.
  • x > 4: например, x=5. \( \frac{5-1}{5-4} = \frac{4}{1} = 4 \ge 0 \) - верно.
  
  Так как знаменатель не может быть равен нулю (x\(
  e \) 4), решение:
  \[ (-\infty; 1] \cup (4; +\infty) \]
  Это соответствует решению 2).

  Неравенство Б)
  \[ \frac{x-1}{x-4} \le 0 \]
  Это дробно-рациональное неравенство. Аналогично предыдущему, корни x=1 и x=4. Используя метод интервалов:
  

  • x < 1: \( \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} \le 0 \) - неверно.
  • 1 \( \le \) x < 4: \( \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} \le 0 \) - верно.
  • x > 4: \( \frac{4}{1} = 4 \le 0 \) - неверно.
  
  Так как знаменатель не может быть равен нулю (x\(
  e \) 4), решение:
  \[ [1; 4) \]
  Это соответствует решению 1).

  Неравенство В)
  \[ (x-1)(x-4) \ge 0 \]
  Это квадратичное неравенство. Корни уравнения \( (x-1)(x-4) = 0 \) равны x=1 и x=4. График параболы y=(x-1)(x-4) направлен ветвями вверх. Неравенство \( \ge 0 \) выполняется вне корней:
  \[ (-\infty; 1] \cup [4; +\infty) \]
  Это соответствует решению 4).

  Неравенство Г)
  \[ (x-1)(x-4) \le 0 \]
  Аналогично предыдущему, корни x=1 и x=4. Неравенство \( \le 0 \) выполняется между корнями (включительно):
  \[ [1; 4] \]
  Это соответствует решению 3).

  Соответствия:

  • A — 2
  • Б — 1
  • В — 4
  • Г — 3

  Ответ: А2, Б1, В4, Г3