20. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Обозначим:

• 
  \[ v_{л} \] — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч).
• 
  \[ v_{т} \] — скорость течения реки (км/ч). По условию,
  \[ v_{т} = 3 \] км/ч.
• 
  \[ v_{пр} \] — скорость лодки против течения (км/ч).
• 
  \[ v_{обр} \] — скорость лодки по течению (обратный путь) (км/ч).
• 
  \[ t_{пр} \] — время в пути против течения (ч).
• 
  \[ t_{обр} \] — время в пути по течению (ч).

1. Скорости по и против течения:

• Скорость против течения:
  \[ v_{пр} = v_{л} - v_{т} = v_{л} - 3 \] км/ч.
• Скорость по течению (обратный путь):
  \[ v_{обр} = v_{л} + v_{т} = v_{л} + 3 \] км/ч.

2. Время в пути:

Расстояние в обоих случаях — 72 км.

• Время против течения:
  \[ t_{пр} = \frac{72}{v_{л} - 3} \] ч.
• Время по течению:
  \[ t_{обр} = \frac{72}{v_{л} + 3} \] ч.

3. Условие задачи:

На обратный путь (по течению) затрачено на 2 часа меньше, чем против течения. Значит:

\[ t_{пр} - t_{обр} = 2 \]
\[ \frac{72}{v_{л} - 3} - \frac{72}{v_{л} + 3} = 2 \]

4. Решение уравнения:

Разделим обе части уравнения на 2:

\[ \frac{36}{v_{л} - 3} - \frac{36}{v_{л} + 3} = 1 \]

Приведем к общему знаменателю
\[ (v_{л} - 3)(v_{л} + 3) \]:

\[ \frac{36(v_{л} + 3) - 36(v_{л} - 3)}{(v_{л} - 3)(v_{л} + 3)} = 1 \]
\[ \frac{36v_{л} + 108 - 36v_{л} + 108}{v_{л}^2 - 9} = 1 \]
\[ \frac{216}{v_{л}^2 - 9} = 1 \]

Отсюда:

\[ v_{л}^2 - 9 = 216 \]
\[ v_{л}^2 = 216 + 9 \]
\[ v_{л}^2 = 225 \]

Извлекаем квадратный корень:

\[ v_{л} = \sqrt{225} \]
\[ v_{л} = 15 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень. Также необходимо учесть, что
\[ v_{л} \] должно быть больше скорости течения (3 км/ч), чтобы лодка могла двигаться против течения. 15 > 3, условие выполняется.

Проверка:

• Скорость против течения: 15 - 3 = 12 км/ч. Время: 72 / 12 = 6 ч.
• Скорость по течению: 15 + 3 = 18 км/ч. Время: 72 / 18 = 4 ч.
• Разница во времени: 6 - 4 = 2 часа. Условие выполняется.

Ответ: 15