19. Найдите трехзначное число, кратное 15, сумма цифр которого кратна 4, а все цифры разные. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Нам нужно найти трехзначное число, которое удовлетворяет трем условиям:

1. Кратность 15: Число должно делиться без остатка на 15. Это означает, что оно должно делиться и на 3, и на 5.
   • Признак делимости на 5: Число должно заканчиваться на 0 или 5.
   • Признак делимости на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 3.
2. Сумма цифр кратна 4: Сумма цифр числа должна делиться на 4.
3. Разные цифры: Все три цифры в числе должны быть различными.

Будем перебирать числа, начиная с наименьших трехзначных, удовлетворяющих первому условию (кратность 15).

Вариант 1: Число заканчивается на 0.

Пусть число имеет вид
\[ \overline{ab0} \]

Сумма цифр:
\[ a + b + 0 = a + b \]

Это
\[ a + b \]

должно делиться на 3 (для кратности 15) и на 4 (по условию 2). Наименьшая общая кратная для 3 и 4 — это 12. Значит,
\[ a + b = 12 \]

Также цифры должны быть разными, то есть
\[ a
e b \],
\[ a
e 0 \],
\[ b
e 0 \].

Подбираем пары
\[ (a, b) \] такие, что
\[ a+b=12 \]:

• 
  \[ a=3, b=9 \] (390). Цифры 3, 9, 0 — разные. Сумма цифр 3+9+0=12. 12 кратно 3 (для делимости на 15) и 12 кратно 4. Число 390 подходит.
• 
  \[ a=4, b=8 \] (480). Цифры 4, 8, 0 — разные. Сумма цифр 4+8+0=12. 12 кратно 3 и 12 кратно 4. Число 480 подходит.
• 
  \[ a=5, b=7 \] (570). Цифры 5, 7, 0 — разные. Сумма цифр 5+7+0=12. 12 кратно 3 и 12 кратно 4. Число 570 подходит.
• 
  \[ a=6, b=6 \] (660). Цифры 6, 6, 0 — одинаковые. Не подходит.
• 
  \[ a=7, b=5 \] (750). Цифры 7, 5, 0 — разные. Сумма цифр 7+5+0=12. 12 кратно 3 и 12 кратно 4. Число 750 подходит.
• 
  \[ a=8, b=4 \] (840). Цифры 8, 4, 0 — разные. Сумма цифр 8+4+0=12. 12 кратно 3 и 12 кратно 4. Число 840 подходит.
• 
  \[ a=9, b=3 \] (930). Цифры 9, 3, 0 — разные. Сумма цифр 9+3+0=12. 12 кратно 3 и 12 кратно 4. Число 930 подходит.

Вариант 2: Число заканчивается на 5.

Пусть число имеет вид
\[ \overline{ab5} \]

Сумма цифр:
\[ a + b + 5 \]

Это
\[ a + b + 5 \]

должно делиться на 3 (для кратности 15) и на 4 (по условию 2).
\[ a+b+5 \]

должно быть кратно 12. Значит,
\[ a+b+5=12 \] или
\[ a+b+5=24 \] (следующее кратное 12).

Случай 1:
\[ a+b+5=12 \]
\[ a+b=7 \]

Цифры должны быть разными,
\[ a
e b \],
\[ a
e 5 \],
\[ b
e 5 \].

• 
  \[ a=1, b=6 \] (165). Цифры 1, 6, 5 — разные. Сумма цифр 1+6+5=12. 12 кратно 3 и 12 кратно 4. Число 165 подходит.
• 
  \[ a=2, b=5 \] (255). Цифры 5 повторяются. Не подходит.
• 
  \[ a=3, b=4 \] (345). Цифры 3, 4, 5 — разные. Сумма цифр 3+4+5=12. 12 кратно 3 и 12 кратно 4. Число 345 подходит.
• 
  \[ a=4, b=3 \] (435). Цифры 4, 3, 5 — разные. Сумма цифр 4+3+5=12. 12 кратно 3 и 12 кратно 4. Число 435 подходит.
• 
  \[ a=6, b=1 \] (615). Цифры 6, 1, 5 — разные. Сумма цифр 6+1+5=12. 12 кратно 3 и 12 кратно 4. Число 615 подходит.

Случай 2:
\[ a+b+5=24 \]
\[ a+b=19 \]

Максимальная сумма двух разных цифр (кроме 0) — это 9+8=17. Следовательно, этот случай невозможен.

Мы нашли несколько чисел, удовлетворяющих всем условиям. Можно взять любое из них.

Ответ: 390