18. В треугольнике АВС стороны ВС и АС равны, угол C равен 112°. Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке М. Найдите величину угла АМВ.

Решение:

1. Находим углы при основании равнобедренного треугольника ABC.

Треугольник ABC равнобедренный, так как BC = AC. Угол C = 112°.

Сумма углов треугольника равна 180°. Углы при основании (углы A и B) равны.

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)

\( \angle A + \angle B + 112^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle A + \angle B = 180^{\circ} - 112^{\circ} \)

\( \angle A + \angle B = 68^{\circ} \)

Так как \( \angle A = \angle B \), то

\( \angle A = \angle B = \frac{68^{\circ}}{2} = 34^{\circ} \)

2. Находим углы в треугольнике ABM.

AM — биссектриса угла A, BM — биссектриса угла B.

\( \angle MAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{34^{\circ}}{2} = 17^{\circ} \)

\( \angle MBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{34^{\circ}}{2} = 17^{\circ} \)

3. Находим угол AMB.

В треугольнике ABM:

\( \angle AMB + \angle MAB + \angle MBA = 180^{\circ} \)

\( \angle AMB + 17^{\circ} + 17^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AMB + 34^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AMB = 180^{\circ} - 34^{\circ} \)

\( \angle AMB = 146^{\circ} \)

Ответ: 146°