19. Задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 45. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 36. Какое число было задумано?

Краткая запись:

• Искомое число: трёхзначное, меньше 500, делится на 45.
• Пусть задуманное число = \( 100a + 10b + c \)
• Число после перестановки цифр десятков и единиц = \( 100a + 10c + b \)
• Разность: \( (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 36 \)
• Найти: Задуманное число.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим трёхзначные числа меньше 500, которые делятся на 45.
   Чтобы число делилось на 45, оно должно делиться на 5 и на 9.
   Меньше 500, значит, первая цифра (a) может быть 1, 2, 3, 4.
   Перечислим числа:
   45 × 1 = 45 (двузначное)
   45 × 2 = 90 (двузначное)
   45 × 3 = 135
   45 × 4 = 180
   45 × 5 = 225
   45 × 6 = 270
   45 × 7 = 315
   45 × 8 = 360
   45 × 9 = 405
   45 × 10 = 450
   45 × 11 = 495
   45 × 12 = 540 (больше 500).
   Возможные задуманные числа: 135, 180, 225, 270, 315, 360, 405, 450, 495.
2. Шаг 2: Составляем и упрощаем уравнение разности.
   Задуманное число: \( 100a + 10b + c \)
   Число с переставленными цифрами: \( 100a + 10c + b \)
   Разность: \( (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 36 \)
   \( 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 36 \)
   \( 9b - 9c = 36 \)
   Разделим обе стороны на 9:
   \( b - c = 4 \)
3. Шаг 3: Проверяем каждое из возможных задуманных чисел по условию \( b - c = 4 \).
   
   • 135: b=3, c=5. \( 3 - 5 = -2 \) (не подходит)
   • 180: b=8, c=0. \( 8 - 0 = 8 \) (не подходит)
   • 225: b=2, c=5. \( 2 - 5 = -3 \) (не подходит)
   • 270: b=7, c=0. \( 7 - 0 = 7 \) (не подходит)
   • 315: b=1, c=5. \( 1 - 5 = -4 \) (не подходит)
   • 360: b=6, c=0. \( 6 - 0 = 6 \) (не подходит)
   • 405: b=0, c=5. \( 0 - 5 = -5 \) (не подходит)
   • 450: b=5, c=0. \( 5 - 0 = 5 \) (не подходит)
   • 495: b=9, c=5. \( 9 - 5 = 4 \) (подходит!)

Ответ: Задуманное число было 495.