18. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 255. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Решение:

Пусть двузначное число будет \( 10a + b \), где \( a \) — цифра десятков, \( b \) — цифра единиц. \( a \in \{1, 2, ..., 9\} \) и \( b \in \{0, 1, ..., 9\} \).

Произведение цифр равно \( a \cdot b \).

По условию задачи составляем уравнение:

\( (10a + b) \cdot (a \cdot b) = 255 \)

Разложим число 255 на множители:

\( 255 = 5 \cdot 51 = 5 \cdot 3 \cdot 17 \)

Нам нужно найти такие \( a \) и \( b \), чтобы \( 10a + b \) и \( a \cdot b \) были множителями числа 255. Возможные двузначные множители числа 255:

• 15 ( \( 10 \times 1 + 5 \) )
• 17 ( \( 10 \times 1 + 7 \) )
• 51 ( \( 10 \times 5 + 1 \) )
• 85 ( \( 10 \times 8 + 5 \) )

Проверим каждый вариант:

1. Если число равно 15:

Произведение цифр \( 1 \times 5 = 5 \).

\( 15 \times 5 = 75 \neq 255 \).

2. Если число равно 17:

Произведение цифр \( 1 \times 7 = 7 \).

\( 17 \times 7 = 119 \neq 255 \).

3. Если число равно 51:

Произведение цифр \( 5 \times 1 = 5 \).

\( 51 \times 5 = 255 \). Это подходит!

4. Если число равно 85:

Произведение цифр \( 8 \times 5 = 40 \).

\( 85 \times 40 = 3400 \neq 255 \).

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию, — это 51.

Ответ: Задумали число 51.