180. Упростите выражение: 1) 3sin² α − 3; 2) 2 − cos²(x/5) − sin²(x/5); 3) (sin 5β − 1)(sin 5β + 1); 4) 4 − 4/sin²(2γ); 5) cos²(α/4) + sin²(α/4) − 1/sin²(5β); 6) ctg²(2α) + tg(6α)·ctg(6α); 7) ctg(3x)·sin(3x)/(1 + tg²(3x)); 8) cos²(4α)(tg(4α) + ctg(4α)); 9) (cos 5β + sin 5β)² + (sin 5β − cos 5β)²; 10) [1 + ctg²(2α)(cos²(2α) − 1)]/sin²(2α).

1. Используем тождество \(\sin^2\alpha-1=-\cos^2\alpha\): \(3\sin^2\alpha-3=3(\sin^2\alpha-1)=-3\cos^2\alpha\).

2. По основному тригонометрическому тождеству \(\cos^2(x/5)+\sin^2(x/5)=1\): \(2-1=1\).

3. Применяем разность квадратов: \((\sin 5\beta-1)(\sin 5\beta+1)=\sin^2 5\beta-1=-\cos^2 5\beta\).

4. Так как \(1-1/\sin^2(2\gamma)=-\ctg^2(2\gamma)\), получаем \(4-4/\sin^2(2\gamma)=-4\ctg^2(2\gamma)\).

5. Сначала складываем квадраты синуса и косинуса: \(\cos^2(\alpha/4)+\sin^2(\alpha/4)=1\). Тогда \(1-1/\sin^2(5\beta)=-\ctg^2(5\beta)\).

6. Поскольку \( g(6\alpha)\ctg(6\alpha)=1\), имеем \(\ctg^2(2\alpha)+1=1/\sin^2(2\alpha)\).

7. В числителе \(\ctg(3x)\sin(3x)=\cos(3x)\), а \(1+ g^2(3x)=1/\cos^2(3x)\). Поэтому выражение равно \(\cos^3(3x)\).

8. \( g(4\alpha)+\ctg(4\alpha)=1/[\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)]\). Умножая на \(\cos^2(4\alpha)\), получаем \(\ctg(4\alpha)\).

9. Раскрываем квадраты: \((a+b)^2+(b-a)^2=2a^2+2b^2\). Поэтому выражение равно \(2(\cos^2 5\beta+\sin^2 5\beta)=2\).

10. Так как \(\cos^2(2\alpha)-1=-\sin^2(2\alpha)\), числитель равен \(1-\ctg^2(2\alpha)\sin^2(2\alpha)=1-\cos^2(2\alpha)=\sin^2(2\alpha)\). После деления получаем \(1\).

Ответ: 1) −3cos² α; 2) 1; 3) −cos² 5β; 4) −4ctg²(2γ); 5) −ctg²(5β); 6) 1/sin²(2α); 7) cos³(3x); 8) ctg(4α); 9) 2; 10) 1.