183. Докажите тождество: 1) (cos³ 6α + sin³(−6α))/(1 + sin 6α cos(−6α)) = cos 6α − sin 6α; 2) cos⁴ 3β − sin⁴(−3β) − 2cos² 3β = −1; 3) sin α/(1 − cos α) + (1 − cos α)/sin α = 2/sin α.

Положим \(x=6\alpha\). Так как \(\sin(-x)=-\sin x\) и \(\cos(-x)=\cos x\), левая часть равна \((\cos^3x-\sin^3x)/(1+\sin x\cos x)\). Разложим разность кубов: \(\cos^3x-\sin^3x=(\cos x-\sin x)(\cos^2x+\sin x\cos x+\sin^2x)=(\cos x-\sin x)(1+\sin x\cos x)\). Сокращая общий множитель, получаем \(\cos x-\sin x\), то есть правую часть.

Поскольку \(\sin^4(-3\beta)=\sin^4(3\beta)\), левая часть равна \(\cos^4(3\beta)-\sin^4(3\beta)-2\cos^2(3\beta)\). По формуле разности квадратов первые два слагаемых дают \((\cos^2(3\beta)-\sin^2(3\beta))(\cos^2(3\beta)+\sin^2(3\beta))=\cos^2(3\beta)-\sin^2(3\beta)\). Тогда вся левая часть равна \(-\sin^2(3\beta)-\cos^2(3\beta)=-1\).

Приведём левую часть к общему знаменателю: \([\sin^2\alpha+(1-\cos\alpha)^2]/[\sin\alpha(1-\cos\alpha)]\). Числитель упрощается: \(\sin^2\alpha+1-2\cos\alpha+\cos^2\alpha=2(1-\cos\alpha)\). Сокращая общий множитель, получаем \(2/\sin\alpha\), что равно правой части. Тождество верно при значениях α, для которых исходные знаменатели не равны нулю.