183. Существует ли правильный многоугольник, угол которого равен: 1) 140°; 2) 130°?

Решение:

Будем использовать формулу для угла правильного n-угольника и проверять, получится ли целое число сторон (n):

\( \alpha = \frac{180^{\circ} (n - 2)}{n} \) => \( n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - \alpha} \)

1. Если \( \alpha = 140^{\circ} \):

\( n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 140^{\circ}} = \frac{360^{\circ}}{40^{\circ}} = 9 \)

Так как \( n=9 \) — целое число, такой многоугольник существует.

2. Если \( \alpha = 130^{\circ} \):

\( n = \frac{360^{\circ}}{180^{\circ} - 130^{\circ}} = \frac{360^{\circ}}{50^{\circ}} = 7.2 \)

Так как \( n=7.2 \) — не целое число, такого правильного многоугольника не существует.

Ответ: 1) Да, существует (9 сторон); 2) Нет, не существует.