188. Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение: а) k/x = x², где k > 0; б) k/x = x², где k < 0; в) k/x = x³, где k > 0; г) k/x = x³, где k < 0. 1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функций y = k/x. 3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.

Пусть k — фиксированное ненулевое число. Число решений уравнения равно числу точек пересечения графиков соответствующих функций.

1. а) При k > 0 уравнение k/x = x² (x ≠ 0) равносильно x³ = k. Кубическое уравнение имеет ровно один действительный корень: x = ∛k > 0. Значит, одно решение.
2. б) При k < 0 получаем x³ = k. Ровно один действительный корень x = ∛k < 0. Значит, одно решение.
3. в) При k > 0 уравнение k/x = x³ равносильно x⁴ = k. Оно имеет два действительных корня: x = ±∜k. Значит, два решения.
4. г) При k < 0 уравнение k/x = x³ равносильно x⁴ = k. Левая часть x⁴ неотрицательна, а k отрицательно, поэтому действительных корней нет. Значит, решений нет.

Для проверки графиков y = k/x учитывайте: при k > 0 ветви гиперболы расположены в I и III четвертях, а при k < 0 — во II и IV. График не пересекает оси координат; x = 0 не входит в область определения.

Ответ: а) одно решение; б) одно решение; в) два решения; г) решений нет.