19. ∠BAO = ∠BCO, AO = OC, луч OB — биссектриса угла KOD. Докажите, что луч BO — биссектриса ∠ABC.

1. По рисунку точки A, O, D лежат на одной прямой, а точки K, O, C — на одной прямой. Поэтому ∠AOB и ∠BOC являются дополнительными соответственно к ∠BOD и ∠KOB.
2. Так как OB — биссектриса ∠KOD, ∠KOB = ∠BOD. Следовательно, их дополнительные углы равны: ∠BOC = ∠AOB.
3. По условию ∠BAO = ∠BCO и AO = OC. Значит, треугольники ABO и CBO равны по стороне AO = OC и двум прилежащим к ней углам.
4. Из равенства треугольников следует, что ∠ABO = ∠OBC. Следовательно, луч BO — биссектриса ∠ABC.

Ответ: луч BO — биссектриса ∠ABC.