19. Докажите тождество: 1) $\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2-ab}=0$; 2) $\frac{a+3}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}+\frac6{a^2-1}=\frac2{a^2-1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 19. Докажите тождество: 1) $\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2-ab}=0$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Учитываем, что $a^2-ab=a(a-b)$. Приведём левую часть к общему знаменателю $a(a-b)$:

$\frac{(a+b)(a-b)-a^2+b^2}{a(a-b)}=\frac{a^2-b^2-a^2+b^2}{a(a-b)}=0$.

Тождество доказано при $a\ne0$ и $a\ne b$.

2) Разложим $a^2-1=(a-1)(a+1)$. Приведём левую часть к общему знаменателю:

$\frac{(a+3)(a-1)-(a+1)^2+6}{(a-1)(a+1)}$.

Числитель: $(a^2+2a-3)-(a^2+2a+1)+6=2$. Поэтому левая часть равна $\frac2{a^2-1}$, что совпадает с правой частью.

Тождество доказано при $a\ne-1$ и $a\ne1$.

19. Докажите тождество: 1) \(\frac{a+b}{a}-\frac{a}{a-b}+\frac{b^2}{a^2-ab}=0\); 2) \(\frac{a+3}{a+1}-\frac{a+1}{a-1}+\frac6{a^2-1}=\frac2{a^2-1}\).