19. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 919. Найдите ребро куба.

Пусть ребро исходного куба равно \(a\). По условию:

\((a+1)^3-a^3=919\).

Раскроем скобки: \(a^3+3a^2+3a+1-a^3=919\).

Получаем \(3a^2+3a+1=919\), то есть \(a^2+a-306=0\).

Дискриминант: \(D=1+4\cdot306=1225=35^2\).

\(a=\frac{-1+35}{2}=17\) — положительное значение.

Ответ: 17.