19. Найдите трёхзначное число, кратное 11, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Искомое число трёхзначное, кратное 11, с различными цифрами. Обозначим число как \( \overline{abc} \), где \( a, b, c \) — различные цифры, \( a \neq 0 \).

Условие кратности 11: \( a - b + c \) делится на 11.

Условие делимости суммы квадратов на 4: \( a^2 + b^2 + c^2 \) делится на 4.

Условие не делимости суммы квадратов на 16: \( a^2 + b^2 + c^2 \) не делится на 16.

Переберём возможные варианты:

1. Число 121 — не подходит, цифры не различны.
2. Число 132 — цифры различны. \( 1-3+2 = 0 \) (делится на 11). \( 1^2+3^2+2^2 = 1+9+4 = 14 \). 14 не делится на 4. Не подходит.
3. Число 209 — цифры различны. \( 2-0+9 = 11 \) (делится на 11). \( 2^2+0^2+9^2 = 4+0+81 = 85 \). 85 не делится на 4. Не подходит.
4. Число 231 — цифры различны. \( 2-3+1 = 0 \) (делится на 11). \( 2^2+3^2+1^2 = 4+9+1 = 14 \). 14 не делится на 4. Не подходит.
5. Число 253 — цифры различны. \( 2-5+3 = 0 \) (делится на 11). \( 2^2+5^2+3^2 = 4+25+9 = 38 \). 38 не делится на 4. Не подходит.
6. Число 308 — цифры различны. \( 3-0+8 = 11 \) (делится на 11). \( 3^2+0^2+8^2 = 9+0+64 = 73 \). 73 не делится на 4. Не подходит.
7. Число 319 — цифры различны. \( 3-1+9 = 11 \) (делится на 11). \( 3^2+1^2+9^2 = 9+1+81 = 91 \). 91 не делится на 4. Не подходит.
8. Число 342 — цифры различны. \( 3-4+2 = 1 \) (не делится на 11). Не подходит.
9. Число 352 — цифры различны. \( 3-5+2 = 0 \) (делится на 11). \( 3^2+5^2+2^2 = 9+25+4 = 38 \). 38 не делится на 4. Не подходит.
10. Число 385 — цифры различны. \( 3-8+5 = 0 \) (делится на 11). \( 3^2+8^2+5^2 = 9+64+25 = 98 \). 98 не делится на 4. Не подходит.
11. Число 407 — цифры различны. \( 4-0+7 = 11 \) (делится на 11). \( 4^2+0^2+7^2 = 16+0+49 = 65 \). 65 не делится на 4. Не подходит.
12. Число 418 — цифры различны. \( 4-1+8 = 11 \) (делится на 11). \( 4^2+1^2+8^2 = 16+1+64 = 81 \). 81 не делится на 4. Не подходит.
13. Число 420 — цифры различны. \( 4-2+0 = 2 \) (не делится на 11). Не подходит.
14. Число 432 — цифры различны. \( 4-3+2 = 3 \) (не делится на 11). Не подходит.
15. Число 451 — цифры различны. \( 4-5+1 = 0 \) (делится на 11). \( 4^2+5^2+1^2 = 16+25+1 = 42 \). 42 не делится на 4. Не подходит.
16. Число 473 — цифры различны. \( 4-7+3 = 0 \) (делится на 11). \( 4^2+7^2+3^2 = 16+49+9 = 74 \). 74 не делится на 4. Не подходит.
17. Число 484 — не подходит, цифры не различны.
18. Число 495 — цифры различны. \( 4-9+5 = 0 \) (делится на 11). \( 4^2+9^2+5^2 = 16+81+25 = 122 \). 122 не делится на 4. Не подходит.
19. Число 506 — цифры различны. \( 5-0+6 = 11 \) (делится на 11). \( 5^2+0^2+6^2 = 25+0+36 = 61 \). 61 не делится на 4. Не подходит.
20. Число 516 — цифры различны. \( 5-1+6 = 10 \) (не делится на 11). Не подходит.
21. Число 524 — цифры различны. \( 5-2+4 = 7 \) (не делится на 11). Не подходит.
22. Число 531 — цифры различны. \( 5-3+1 = 3 \) (не делится на 11). Не подходит.
23. Число 540 — цифры различны. \( 5-4+0 = 1 \) (не делится на 11). Не подходит.
24. Число 564 — цифры различны. \( 5-6+4 = 3 \) (не делится на 11). Не подходит.
25. Число 583 — цифры различны. \( 5-8+3 = 0 \) (делится на 11). \( 5^2+8^2+3^2 = 25+64+9 = 98 \). 98 не делится на 4. Не подходит.
26. Число 594 — цифры различны. \( 5-9+4 = 0 \) (делится на 11). \( 5^2+9^2+4^2 = 25+81+16 = 122 \). 122 не делится на 4. Не подходит.
27. Число 605 — цифры различны. \( 6-0+5 = 11 \) (делится на 11). \( 6^2+0^2+5^2 = 36+0+25 = 61 \). 61 не делится на 4. Не подходит.
28. Число 614 — цифры различны. \( 6-1+4 = 9 \) (не делится на 11). Не подходит.
29. Число 630 — цифры различны. \( 6-3+0 = 3 \) (не делится на 11). Не подходит.
30. Число 642 — цифры различны. \( 6-4+2 = 4 \) (не делится на 11). Не подходит.
31. Число 653 — цифры различны. \( 6-5+3 = 4 \) (не делится на 11). Не подходит.
32. Число 671 — цифры различны. \( 6-7+1 = 0 \) (делится на 11). \( 6^2+7^2+1^2 = 36+49+1 = 86 \). 86 не делится на 4. Не подходит.
33. Число 682 — цифры различны. \( 6-8+2 = 0 \) (делится на 11). \( 6^2+8^2+2^2 = 36+64+4 = 104 \). \( 104 = 16 \times 6 + 8 \) (делится на 4, но не на 16). Подходит!

Ответ: 682.