Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть \( t_м \) — время мотоциклиста на путь из А в В, а \( t_в \) — время велосипедиста на путь из В в А. Расстояние между городами обозначим \( S \).
Скорость мотоциклиста: \( v_м = \frac{S}{t_м} \).
Скорость велосипедиста: \( v_в = \frac{S}{t_в} \).
По условию: \( t_в - t_м = 8 \) часов.
Встретились они через 54 минуты, что равно \( \frac{54}{60} = \frac{9}{10} = 0.9 \) часа.
За это время мотоциклист проехал \( v_м \times 0.9 = \frac{S}{t_м} \times 0.9 \).
За это время велосипедист проехал \( v_в \times 0.9 = \frac{S}{t_в} \times 0.9 \).
В момент встречи сумма пройденных расстояний равна расстоянию между городами:
\[ \frac{S}{t_м} \times 0.9 + \frac{S}{t_в} \times 0.9 = S \]
Разделим обе части на \( S \) (так как \( S \neq 0 \)):
\[ 0.9 \left( \frac{1}{t_м} + \frac{1}{t_в} \right) = 1 \]
\[ \frac{1}{t_м} + \frac{1}{t_в} = \frac{1}{0.9} = \frac{10}{9} \]
Подставим \( t_м = t_в - 8 \) из первого условия:
\[ \frac{1}{t_в - 8} + \frac{1}{t_в} = \frac{10}{9} \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{t_в + (t_в - 8)}{t_в(t_в - 8)} = \frac{10}{9} \]
\[ \frac{2t_в - 8}{t_в^2 - 8t_в} = \frac{10}{9} \]
Перекрёстное умножение:
\[ 9(2t_в - 8) = 10(t_в^2 - 8t_в) \]
\[ 18t_в - 72 = 10t_в^2 - 80t_в \]
Перенесём всё в одну сторону:
\[ 10t_в^2 - 80t_в - 18t_в + 72 = 0 \]
\[ 10t_в^2 - 98t_в + 72 = 0 \]
Разделим на 2:
\[ 5t_в^2 - 49t_в + 36 = 0 \]
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
\[ D = (-49)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 36 = 2401 - 720 = 1681 \]
\[ \sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41 \]
Найдем корни:
\[ t_{в1} = \frac{49 + 41}{2 \cdot 5} = \frac{90}{10} = 9 \]
\[ t_{в2} = \frac{49 - 41}{2 \cdot 5} = \frac{8}{10} = 0.8 \]
Так как \( t_м = t_в - 8 \), то \( t_м \) должно быть положительным. Если \( t_в = 0.8 \), то \( t_м = 0.8 - 8 = -7.2 \), что невозможно.
Значит, \( t_в = 9 \) часов.
Проверка: \( t_м = 9 - 8 = 1 \) час. \( \frac{1}{1} + \frac{1}{9} = \frac{9+1}{9} = \frac{10}{9} \). Это совпадает с \( \frac{1}{0.9} \).
Ответ: 9 часов.
