19. Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении и на 6, и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра в записи которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Пусть искомое трёхзначное число равно \( N \). По условию \( N > 400 \).

Число делится на 6 и на 5 с равными ненулевыми остатками. Это значит, что \( N \) имеет вид:

• \( N = 6k + r \)
• \( N = 5m + r \)

где \( r \) — ненулевой остаток, \( r \neq 0 \).

Вычтем одно уравнение из другого:

\[ 6k + r - (5m + r) = 0 \]\[ 6k - 5m = 0 \]\[ 6k = 5m \]

Так как 6 и 5 взаимно просты, \( k \) должно быть кратно 5, а \( m \) — кратно 6. Пусть \( k = 5t \), тогда \( m = 6t \), где \( t \) — некоторое целое число.

Подставим \( k = 5t \) в первое уравнение:

\[ N = 6(5t) + r \]\[ N = 30t + r \]

Это означает, что число \( N \) при делении на 30 даёт остаток \( r \).

Поскольку \( N \) делится на 6 и 5 с остатком \( r \), то \( N - r \) делится на 6 и на 5, значит, \( N - r \) делится на 30. Таким образом, \( N = 30t + r \).

Возможные ненулевые остатки \( r \) при делении на 6: 1, 2, 3, 4, 5. И при делении на 5: 1, 2, 3, 4.

Значит, \( r \) может быть 1, 2, 3, 4.

Пусть число имеет вид \( abc \), где \( a \) — первая цифра, \( b \) — вторая, \( c \) — третья.

По условию, \( N > 400 \), значит \( a \ge 4 \).

Также \( a = \frac{b+c}{2} \) или \( 2a = b+c \).

Рассмотрим возможные значения \( r \):

• Если \( r = 1 \): \( N = 30t + 1 \).
• Если \( r = 2 \): \( N = 30t + 2 \).
• Если \( r = 3 \): \( N = 30t + 3 \).
• Если \( r = 4 \): \( N = 30t + 4 \).

Переберём трёхзначные числа больше 400, которые удовлетворяют условию \( 2a = b+c \) и \( N = 30t + r \) с \( r \in \{1, 2, 3, 4 \}.

Начнём с \( a = 4 \). Тогда \( b+c = 8 \). Возможные пары \( (b, c) \): (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0).

Числа: 408, 417, 426, 435, 444, 453, 462, 471, 480.

Проверим условие остатка при делении на 6 и 5:

• 408: \( 408 = 6 \times 68 + 0 \) (остаток 0, не подходит)
• 417: \( 417 = 6 \times 69 + 3 \), \( 417 = 5 \times 83 + 2 \) (остатки разные, не подходит)
• 426: \( 426 = 6 \times 71 + 0 \) (остаток 0, не подходит)
• 435: \( 435 = 6 \times 72 + 3 \), \( 435 = 5 \times 87 + 0 \) (остаток 0, не подходит)
• 444: \( 444 = 6 \times 74 + 0 \) (остаток 0, не подходит)
• 453: \( 453 = 6 \times 75 + 3 \), \( 453 = 5 \times 90 + 3 \). Остаток 3. Подходит! \( 453 > 400 \). Первая цифра 4, среднее арифметическое остальных \( (5+3)/2 = 4 \).

Мы нашли одно такое число.

Ответ: 453.