19. Решите треугольник по двум сторонам и углу между ними: 1) a = 8 см, c = 6 см, β = 15°; 2) b = 7 см, c = 5 см, α = 145°.

Используем теорему косинусов для стороны напротив заданного угла, затем находим остальные углы.

1) Угол β расположен между сторонами a и c:

b² = a² + c² − 2ac cos β = 8² + 6² − 2 · 8 · 6 cos 15° ≈ 7.271, поэтому b ≈ 2.70 см.

По теореме синусов sin α = a sin β / b, откуда α ≈ 129.8°. Тогда γ = 180° − 15° − 129.8° ≈ 35.2°.

2) Угол α расположен между сторонами b и c:

a² = b² + c² − 2bc cos α = 7² + 5² − 2 · 7 · 5 cos 145° ≈ 131.341, поэтому a ≈ 11.46 см.

По теореме синусов sin β = b sin α / a, откуда β ≈ 20.6°. Тогда γ = 180° − 145° − 20.6° ≈ 14.4°.

Ответ: 1) b ≈ 2.70 см, α ≈ 129.8°, γ ≈ 35.2°; 2) a ≈ 11.46 см, β ≈ 20.6°, γ ≈ 14.4°.