19. Сумма двух целых чисел равна 101, а разность их квадратов простое число. Найдите эти числа.

Пусть x и y - два целых числа. Из условия имеем: 1) x + y = 101. 2) x² - y² - простое число. Разность квадратов можно разложить на множители: x² - y² = (x - y)(x + y). Так как x + y = 101, то (x - y)(101) - это простое число. Так как 101- это простое число, то единственный вариант, когда разность квадратов будет простым числом - это когда (x-y) = 1 или (x-y) = -1. Рассмотрим первый случай x - y = 1. Теперь мы имеем систему уравнений: x + y = 101 x - y = 1. Сложим эти уравнения. 2x = 102 x = 51 Подставим значение x в первое уравнение: 51 + y = 101, то есть y = 50. Проверим, x² - y² = 51² - 50² = 2601 - 2500 = 101. Действительно, 101 - простое число. Рассмотрим второй случай x - y =-1 Теперь мы имеем систему уравнений: x + y = 101 x - y = -1. Сложим эти уравнения. 2x = 100 x = 50 Подставим значение x в первое уравнение: 50 + y = 101, то есть y = 51. Проверим, x² - y² = 50² - 51² = 2500 - 2601 = -101. То есть разность квадратов получается -101. Итак, числа либо 50 и 51, либо 51 и 50. Ответ: 50 и 51