19. Тип 17 № 12021 Задумали трёхзначное число, которое делится на 37 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Условия:

• Число трехзначное: $$100a + 10b + c$$
• $$a, b, c$$ - цифры, $$a eq 0$$, $$c eq 0$$ (так как число, записанное в обратном порядке, тоже трехзначное)
• $$a = 2c$$
• Число делится на 37: $$100a + 10b + c = 37k$$ (где k - целое)
• Разность задуманного числа и числа, записанного в обратном порядке ($$100c + 10b + a$$), больше 300: $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) > 300$$

Решение:

1. Упростим условие о разности:
• $$(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99a - 99c = 99(a - c)$$
• $$99(a - c) > 300$$
• $$a - c > rac{300}{99} ext{ (приблизительно 3.03)}$$
• Так как $$a$$ и $$c$$ - цифры, $$a-c$$ должно быть целым числом. Следовательно, $$a - c gtr 3$$.
2. Используем условие $$a = 2c$$:
• Подставим $$a=2c$$ в неравенство $$a - c > 3.03$$:
• $$2c - c > 3.03$$
• $$c > 3.03$$
3. Возможные значения для $$c$$ (цифры): $$c$$ может быть 4, 5, 6, 7, 8, 9.
4. Найдем соответствующие значения $$a$$ (помня, что $$a=2c$$ и $$a$$ - цифра):
• Если $$c=4$$, то $$a=8$$. Разность $$a-c = 8-4 = 4 > 3.03$$. Это возможно.
• Если $$c=5$$, то $$a=10$$. Это не цифра, поэтому $$c=5$$ и выше не подходят.
5. Итак, возможные пары (a, c): (8, 4).
6. Теперь проверим условие делимости на 37 для числа $$100a + 10b + c$$ с $$a=8$$ и $$c=4$$.
• Число имеет вид: $$800 + 10b + 4$$.
• $$804 + 10b$$.
• Нам нужно, чтобы $$804 + 10b$$ делилось на 37.
• Проверим делимость 804 на 37: $$804 / 37 imes 37 = 21.72 imes 37$$.
• $$804 = 37 imes 21 + 27$$.
• Значит, $$804 + 10b = 37 imes 21 + 27 + 10b$$.
• Для делимости на 37, $$27 + 10b$$ должно делиться на 37.
• Переберем значения $$b$$ (от 0 до 9):
• Если $$b=0$$: $$27 + 0 = 27$$ (не делится на 37).
• Если $$b=1$$: $$27 + 10 = 37$$ (делится на 37).
• Если $$b=2$$: $$27 + 20 = 47$$ (не делится).
• Если $$b=3$$: $$27 + 30 = 57$$ (не делится).
• Если $$b=4$$: $$27 + 40 = 67$$ (не делится).
• Если $$b=5$$: $$27 + 50 = 77$$ (не делится).
• Если $$b=6$$: $$27 + 60 = 87$$ (не делится).
• Если $$b=7$$: $$27 + 70 = 97$$ (не делится).
• Если $$b=8$$: $$27 + 80 = 107$$ (не делится).
• Если $$b=9$$: $$27 + 90 = 117$$ (не делится).
• Единственное значение $$b$$, при котором $$27 + 10b$$ делится на 37, это $$b=1$$.
7. Итак, задуманное число: $$a=8, b=1, c=4$$. Число = 814.
8. Проверим все условия:
• Число трехзначное: 814 (да).
• Делится на 37: $$814 / 37 = 22$$ (да).
• Последняя цифра (4) в 2 раза меньше первой (8): $$8 / 2 = 4$$ (да).
• Разность задуманного числа (814) и числа в обратном порядке (418): $$814 - 418 = 396$$.
• $$396 > 300$$ (да).

Ответ: 814