19. Задумали трёхзначное число, последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 792. Най- дите все числа, обладающие таким свойством.

Решение:

1. Пусть трёхзначное число имеет вид \( \overline{abc} \), где \( a \), \( b \), \( c \) — цифры, \( a \neq 0 \), \( c \neq 0 \).
2. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид \( \overline{cba} \).
3. По условию: \( \overline{abc} - \overline{cba} = 792 \).
4. Расписываем числа по разрядам: \( (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 792 \).
5. Упрощаем выражение: \( 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 792 \).
6. \( 99a - 99c = 792 \).
7. Выносим 99 за скобки: \( 99(a - c) = 792 \).
8. Находим разность цифр: \( a - c = \frac{792}{99} = 8 \).
9. Так как \( a \) и \( c \) — цифры от 1 до 9 ( \( a \neq 0, c \neq 0 \) ), возможны следующие пары \( (a, c) \):
   • Если \( c = 1 \), то \( a = 1 + 8 = 9 \).
10. Цифра \( b \) может быть любой от 0 до 9.
11. Таким образом, возможные числа: \( \overline{9b1} \).
12. Подставим в исходное уравнение: \( \overline{9b1} - \overline{1b9} = (900 + 10b + 1) - (100 + 10b + 9) = 901 + 10b - 109 - 10b = 792 \).
13. Это верно для любого \( b \) от 0 до 9.
14. Числа: 901, 911, 921, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991.

Ответ: 901, 911, 921, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991.