2.003. Каково взаимное расположение прямых, содержащих рёбра A₁D₁ и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁? Существуют ли в плоскости грани AA₁B₁B прямые, пересекающие каждую из прямых A₁D₁ и BB₁? Если существуют такие прямые, каково их число?

Прямые A₁D₁ и BB₁ не параллельны и не пересекаются, поэтому они скрещиваются.

Прямая A₁D₁ пересекает плоскость грани AA₁B₁B только в точке A₁, а прямая BB₁ лежит в этой плоскости. Поэтому искомая прямая должна проходить через A₁ и пересекать BB₁. Единственная такая прямая — A₁B₁.

Ответ: прямые A₁D₁ и BB₁ скрещиваются; существует ровно одна прямая в плоскости грани AA₁B₁B, пересекающая обе, — A₁B₁.