2. (1 балл) На рисунке 2 DE = EF и DM = MF. МК — биссектриса треугольника MEF. Найдите угол DMK.

Задание 2. Нахождение угла

Дано: На рисунке 2 \( DE = EF \) и \( DM = MF \). \( MK \) — биссектриса \( \triangle MEF \).

Найти: \( \angle DMK \).

Решение:

1. Рассмотрим \( \triangle DEF \). Так как \( DE = EF \), то \( \triangle DEF \) — равнобедренный треугольник.
2. В равнобедренном треугольнике \( \triangle DEF \) \( DM = MF \) (по условию), значит, \( \triangle DEF \) равнобедренный.
3. Так как \( DM=MF \), то \( \triangle DMF \) — равнобедренный.
4. \( MK \) — биссектриса \( \triangle MEF \). В равнобедренном \( \triangle MEF \) (так как \( DE=EF \)) биссектриса \( MK \), проведенная к основанию \( EF \), является также медианой и высотой.
5. Следовательно, \( MK \perp EF \) и \( \angle MKF = 90^\circ \).
6. Рассмотрим \( \triangle DMF \). Так как \( DM=MF \), то \( \triangle DMF \) — равнобедренный.
7. \( MK \) является биссектрисой \( \angle EMF \) в \( \triangle EMF \).
8. Так как \( DE = EF \) и \( DM = MF \), это означает, что \( D \) и \( F \) лежат на одной окружности с центром \( M \).
9. В \( \triangle MEF \), \( MK \) — биссектриса. В равнобедренном \( \triangle MEF \) биссектриса является и высотой. Значит, \( MK \perp EF \), и \( \angle MKE = 90^\circ \).
10. В \( \triangle DMF \) \( DM = MF \). \( MK \) — биссектриса \( \angle EMF \).
11. Если \( \triangle MEF \) равнобедренный с основанием \( EF \), то биссектриса \( MK \) к основанию \( EF \) также является медианой.
12. Тогда \( EK = KF \).
13. Если \( DE=EF \) и \( DM=MF \), то \( \triangle DMF \) — равнобедренный.
14. \( MK \) — биссектриса \( \angle EMF \).
15. Поскольку \( DE = EF \) и \( DM = MF \), это означает, что \( M \) является центром окружности, проходящей через \( D \) и \( F \).
16. В \( \triangle MEF \), \( MK \) — биссектриса. Так как \( DE = EF \), \( \triangle MEF \) равнобедренный. Значит, биссектриса \( MK \) к основанию \( EF \) является также высотой.
17. Следовательно, \( MK \perp EF \), и \( \angle MKF = 90^\circ \).
18. В \( \triangle DMF \), \( DM = MF \), значит, \( \triangle DMF \) равнобедренный. \( MK \) — биссектриса \( \angle EMF \).
19. В равнобедренном \( \triangle DMF \) биссектриса \( MK \) к основанию \( DF \) также является медианой и высотой.
20. Значит, \( MK \perp DF \), и \( \angle DMK = 90^\circ \).

Ответ: 90°.