6. (3 балла) Высота треугольника MNK является медианой треугольника TNQ, MT = QK (рис. 6). 1) Докажите, что треугольник MNK равнобедренный. 2) Найдите ∠3, если ∠2+∠1+∠4 = 30°.

Решение:

1) Докажите, что треугольник MNK равнобедренный.

Дано: Высота \( \triangle MNK \) — медиана \( \triangle TNQ \). \( MT = QK \).

Доказать: \( \triangle MNK \) — равнобедренный.

Доказательство:

1. Пусть высота \( \triangle MNK \) из вершины N пересекает сторону MK в точке P. Значит, NP — высота, и \( \angle NPM = 90^\circ \).
2. По условию, NP является медианой \( \triangle TNQ \). Это значит, что TP = PQ.
3. По условию, MT = QK.
4. Рассмотрим отрезки MK и TQ. \( MK = MP + PK \) и \( TQ = TP + PQ \).
5. Из равенства TP = PQ следует, что \( TQ = 2 · TP \).
6. Из равенства MT = QK и того, что NP является медианой, мы не можем напрямую доказать, что \( \triangle MNK \) равнобедренный. Необходимо дополнительное условие или интерпретация рисунка.
7. Переосмыслим условие: