5. (1 балл) На рисунке 5 АС = BD. Докажите, что AB = CD.

Задание 5. Доказательство равенства отрезков

Дано: На рисунке 5 \( AC = BD \).

Доказать: \( AB = CD \).

Доказательство:

На рисунке 5 изображена окружность с центром \( O \) и вписанные в нее хорды \( AB, BC, CD, DA \).

1. Рассмотрим хорды \( AC \) и \( BD \). По условию \( AC = BD \).
2. Равные хорды стягивают равные дуги. Следовательно, дуга \( AC \) равна дуге \( BD \) (обозначим \( \stackrel{\frown}{AC} = \stackrel{\frown}{BD} \)).
3. Дуга \( AC \) состоит из дуг \( AB \) и \( BC \): \( \stackrel{\frown}{AC} = \stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{BC} \).
4. Дуга \( BD \) состоит из дуг \( BC \) и \( CD \): \( \stackrel{\frown}{BD} = \stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{CD} \).
5. Так как \( \stackrel{\frown}{AC} = \stackrel{\frown}{BD} \), то \( \stackrel{\frown}{AB} + \stackrel{\frown}{BC} = \stackrel{\frown}{BC} + \stackrel{\frown}{CD} \).
6. Вычтем \( \stackrel{\frown}{BC} \) из обеих частей равенства: \( \stackrel{\frown}{AB} = \stackrel{\frown}{CD} \).
7. Равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, хорда \( AB \) равна хорде \( CD \), то есть \( AB = CD \).

Что и требовалось доказать.