2. (1 балл) Вычислите значение выражения: $$\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[6]{4}$$

Решение:

Для вычисления выражения преобразуем корни к общей степени.

\( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = (2^4)^{1/3} = 2^{4/3} \)

\( \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2} = (2^2)^{1/6} = 2^{2/6} = 2^{1/3} \)

Теперь перемножим полученные степени:

\[ 2^{4/3} \cdot 2^{1/3} = 2^{4/3 + 1/3} = 2^{5/3} \]

Это можно представить как \( \sqrt[3]{2^5} = \sqrt[3]{32} \).

Однако, если перевести 16 в 8, то:

\( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2} \)

\( \sqrt[6]{4} = \sqrt[3]{\sqrt{4}} = \sqrt[3]{2} \)

Тогда:

\[ 2\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \cdot (\sqrt[3]{2})^2 = 2\sqrt[3]{4} \]

Проверим еще раз преобразуя к 6 степени:

\( \sqrt[3]{16} = \sqrt[6]{16^2} = \sqrt[6]{256} \)

\( \sqrt[6]{4} \)

\[ \sqrt[6]{256} \cdot \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{256 \cdot 4} = \sqrt[6]{1024} = \sqrt[6]{2^{10}} = 2^{10/6} = 2^{5/3} \]

Можно представить как \( \sqrt[3]{32} \)

Если 16 = 2^4, 4 = 2^2:

\[ \sqrt[3]{2^4} \cdot \sqrt[6]{2^2} = 2^{4/3} \cdot 2^{2/6} = 2^{4/3} \cdot 2^{1/3} = 2^{4/3+1/3} = 2^{5/3} \]

\( 2^{5/3} = \sqrt[3]{2^5} = \sqrt[3]{32} \)

Альтернативный вариант:

\( \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = 2 \sqrt[3]{2} \)

\( \sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt{2} \)

\[ 2 \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt{2} \)

Запишем все под общим корнем 6-й степени:

\( \sqrt[3]{16} = \sqrt[6]{16^2} = \sqrt[6]{256} \)

\( \sqrt[6]{4} \)

\[ \sqrt[6]{256 \cdot 4} = \sqrt[6]{1024} = \sqrt[6]{2^{10}} = 2^{10/6} = 2^{5/3} \]

\( 2^{5/3} = 2^{1 + 2/3} = 2 2^{2/3} = 2 \sqrt[3]{4} \)

Ответ: $$2\sqrt[3]{4}$$.