7. (1 балл) Найдите значение выражения: $$2\log_{7}23 + 3\log_{7}2$$

Решение:

Используем свойства логарифмов: \( n \log_a b = \log_a b^n \) и \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \).

Преобразуем первое слагаемое:

\[ 2\log_{7}23 = \log_{7}23^2 \]

Преобразуем второе слагаемое:

\[ 3\log_{7}2 = \log_{7}2^3 = \log_{7}8 \]

Теперь сложим логарифмы:

\[ \log_{7}23^2 + \log_{7}8 = \log_{7}(23^2 \cdot 8) \]

\( 23^2 = 529 \)

\[ \log_{7}(529 \cdot 8) = \log_{7}(4232) \]

Поскольку \( 7^4 = 2401 \) и \( 7^5 = 16807 \), \( \log_{7}4232 \) не является целым числом. Возможно, в условии была опечатка. Если предположить, что первое слагаемое \( 2\log_{7} \) или \( 2\log_{7} \sqrt{23} \), или \( 2\log_{7} 3 \) и второе \( 3\log_{7} \sqrt{2} \), то решение могло бы быть проще.

Если же выражение именно такое, то ответ будет \( \log_{7}4232 \).

Однако, часто в подобных заданиях подразумевается, что выражение упрощается до целого числа. Предположим, что в условии была опечатка и имелось в виду:

\( 2\log_{7} \text{ и } 3\log_{7} \).

Если бы было \( 2\log_{7} \text{ и } 3\log_{7} \): \( 2\log_{7}3 + 3\log_{7}2 = \log_{7}3^2 + \log_{7}2^3 = \log_{7}9 + \log_{7}8 = \log_{7}(9 8) = \log_{7}72 \).

Если бы было \( 2\log_{7}2 + 3\log_{7}3 \): \( \log_{7}2^2 + \log_{7}3^3 = \log_{7}4 + \log_{7}27 = \log_{7}(4 27) = \log_{7}108 \).

Без изменений в условии, ответ:

Ответ: $$\log_{7}4232$$.