2.1 Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

Точка пересечения диагоналей — центр ромба. Расстояние до стороны равно радиусу вписанной окружности, то есть \(r=14\). Половина диагонали длиной 56 равна 28. Обозначим половину второй диагонали через \(x\), а сторону ромба через \(a\).

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому \(a=\sqrt{28^2+x^2}\). Площадь ромба равна \(2\cdot28x\), а также равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S=2ar\). Следовательно, \(56x=28a\), то есть \(a=2x\).

Тогда \(28^2+x^2=4x^2\), откуда \(3x^2=784\) и \(x=28/\sqrt3\). Отношение меньшей диагонали к большей равно \(1/\sqrt3\). В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей, это отношение равно тангенсу половины острого угла ромба. Поэтому половина острого угла равна 30°, а сам угол — 60°. Соседний угол равен \(180°-60°=120°\).

Ответ: углы ромба — 60° и 120°.