2. 10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причём известно, что среди них точно есть школьник, решивший ровно одну задачу, школьник, решивший ровно две задачи и школьник, решивший ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

Предположим, что каждый из остальных семи школьников решил не более четырёх задач. Тогда они вместе решили не более \(7 \cdot 4 = 28\) задач. Трое указанных школьников решили ровно \(1+2+3=6\) задач.

Значит, всего было бы решено не более \(28+6=34\) задач, тогда как по условию решено 35. Противоречие.

Ответ: хотя бы один школьник решил не менее пяти задач.