2.13. Дан единичный куб \(ABCD A_1B_1C_1D_1\). Чему равна длина вектора: а) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{A_1C_1}\); б) \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{A_1C_1}\); в) \(\overrightarrow{A_1C_1}+\overrightarrow{CD_1}+\overrightarrow{D_1A}\)?

Пусть ребро единичного куба равно 1, а \(\overrightarrow{AB}=\mathbf x\), \(\overrightarrow{AD}=\mathbf y\), \(\overrightarrow{AA_1}=\mathbf z\). Эти три взаимно перпендикулярных вектора имеют длину 1.

1. а) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{A_1C_1}=\mathbf x-\mathbf x+(\mathbf x+\mathbf y)=\mathbf x+\mathbf y\). Это диагональ квадратной грани, поэтому её длина \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\).
2. б) \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{A_1C_1}=(-\mathbf x-\mathbf y)+(\mathbf x-\mathbf y)+(\mathbf x+\mathbf y)=\mathbf x-\mathbf y\). Длина вектора равна \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\).
3. в) \(\overrightarrow{A_1C_1}+\overrightarrow{CD_1}+\overrightarrow{D_1A}=(\mathbf x+\mathbf y)+(\mathbf z-\mathbf x)+(-\mathbf y-\mathbf z)=\overrightarrow{0}\). Длина нулевого вектора равна 0.

Ответ: а) \(\sqrt2\); б) \(\sqrt2\); в) 0.