2.13. Дан единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Чему равна длина вектора: а) \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{A_1C_1}\); б) \(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{A_1C_1}\); в) \(\overrightarrow{A_1C_1}+\overrightarrow{CD_1}+\overrightarrow{D_1A_1}\)?

Примем стандартную нумерацию куба: ABCD — нижняя грань, а A₁B₁C₁D₁ — соответствующие вершины верхней грани. Ребро единичного куба имеет длину 1. Зададим координаты: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), а верхним вершинам добавим координату z=1.

1. а) \(\overrightarrow{AB}=(1,0,0)\), \(\overrightarrow{CD}=(-1,0,0)\), \(\overrightarrow{A_1C_1}=(1,1,0)\). Сумма равна \((1,1,0)\), поэтому её длина \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\).
2. б) \(\overrightarrow{CA}=(-1,-1,0)\), \(\overrightarrow{DB}=(1,-1,0)\), \(\overrightarrow{A_1C_1}=(1,1,0)\). Сумма равна \((1,-1,0)\), поэтому её длина \(\sqrt2\).
3. в) В изображении читается сумма \(\overrightarrow{A_1C_1}+\overrightarrow{CD_1}+\overrightarrow{D_1A_1}\). Первые два вектора дают \(\overrightarrow{A_1C_1}+\overrightarrow{CD_1}=\overrightarrow{A_1D_1}\); затем \(\overrightarrow{A_1D_1}+\overrightarrow{D_1A_1}=\vec 0\). Длина нулевого вектора равна 0.

Ответ: а) \(\sqrt2\); б) \(\sqrt2\); в) 0.