2.4.59. Найдите угол ACO, если его сторона CA касается окружности, O — центр окружности, сторона CO пересекает окружность в точке B, а меньшая дуга AB равна 32°. Ответ дайте в градусах.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому \(\angle OAC=90^\circ\). Поскольку меньшая дуга \(AB\) равна \(32^\circ\), центральный угол \(\angle AOB=32^\circ\). Точки \(C,O,B\) лежат на одной прямой, причём лучи \(OB\) и \(OC\) противоположны, значит \(\angle AOC=180^\circ-32^\circ=148^\circ\).

В треугольнике \(AOC\): \(\angle ACO=180^\circ-90^\circ-148^\circ\), что невозможно: сумма заданных углов уже превышает \(180^\circ\). По рисунку и условию точка B находится на луче из O в сторону C, поэтому центральный угол между OA и OC равен именно \(32^\circ\), а не \(148^\circ\). Тогда \(\angle ACO=180^\circ-90^\circ-32^\circ=58^\circ\).

Ответ: 58°.