2.48. Найдите все делители числа 120. Наиболее ли их число среди составных чисел, не превосходящих 120?

Разложим число на простые множители: \(120=2^3\cdot3\cdot5\). Каждый его делитель получается выбором степеней простых множителей: \(2^a\cdot3^b\cdot5^c\), где \(a=0,1,2,3\), а \(b,c=0,1\). Всего таких делителей \(4\cdot2\cdot2=16\).

Делители числа 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120.

Число 120 действительно имеет наибольшее количество делителей среди составных чисел, не превосходящих 120. Краткое обоснование: если число разложено как произведение простых степеней, число его делителей равно произведению показателей, увеличенных на 1. Для чисел не больше 120 максимальное такое произведение достигается при разложении \(2^3\cdot3dot5\), то есть у 120.

Ответ: 16 делителей; да, среди составных чисел до 120 это число имеет наибольшее количество делителей.