2.49. Решите уравнения, используя замену неизвестного: а) $(x+100)^2-2004(x+100)-2005=0$; б) $(x^2-x)^2-3(x^2-x)+2=0$; в) $(x^2-2x)^2-2(x-1)^2-1=0$.

Question

2.49. Решите уравнения, используя замену неизвестного: а) $(x+100)^2-2004(x+100)-2005=0$; б) $(x^2-x)^2-3(x^2-x)+2=0$; в) $(x^2-2x)^2-2(x-1)^2-1=0$.

$Фото задания: 2.49. Решите уравнения, используя замену неизвестного: а) $(x+100)^2-2004(x+100)-2005=0$; б) $(x^2-x)^2-3(x^2-x)+2=0$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Пусть $y=x+100$. Тогда:

$y^2-2004y-2005=0$.

$D=2004^2+4\cdot2005=2006^2$, поэтому $y=2005$ или $y=-1$.

Возвращаемся к $x$: $x+100=2005\Rightarrow x=1905$; $x+100=-1\Rightarrow x=-101$.

Ответ: $x=-101;\ 1905$.

б) Пусть $y=x^2-x$. Получаем:

$y^2-3y+2=0\Rightarrow (y-1)(y-2)=0$.

1) $x^2-x=1\Rightarrow x^2-x-1=0\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$.

2) $x^2-x=2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=2$ или $x=-1$.

Ответ: $x=-1;\ 2;\ \frac{1-\sqrt5}{2};\ \frac{1+\sqrt5}{2}$.

в) Используем замену $y=(x-1)^2$. Так как $x^2-2x=(x-1)^2-1=y-1$, имеем:

$(y-1)^2-2y-1=0\Rightarrow y^2-4y=0\Rightarrow y(y-4)=0$.

1) $(x-1)^2=0\Rightarrow x=1$.

2) $(x-1)^2=4\Rightarrow x-1=\pm2\Rightarrow x=-1$ или $x=3$.

Ответ: $x=-1;\ 1;\ 3$.

2.49. Решите уравнения, используя замену неизвестного: а) \((x+100)^2-2004(x+100)-2005=0\); б) \((x^2-x)^2-3(x^2-x)+2=0\); в) \((x^2-2x)^2-2(x-1)^2-1=0\).

Ответ: