2.65. Автобус треть пути ехал со скоростью v₁ = 30 км/ч, а оставшуюся часть — со скоростью в два раза большей средней скорости на всем пути. Найдите скорость автобуса на второй части пути.

Решение:

Обозначим весь путь как \( 3S \), где \( S \) — одна треть пути.

1. Время движения на первой трети пути: \[ t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{30\text{ км/ч}} \]
2. Обозначим среднюю скорость на всём пути как \( v_{ср} \). Скорость на второй части пути равна \( 2v_{ср} \).
3. Общее время движения: \[ t_{общее} = t_1 + t_2 = \frac{S}{30} + \frac{2S}{2v_{ср}} = \frac{S}{30} + \frac{S}{v_{ср}} \]
4. Средняя скорость на всем пути: \[ v_{ср} = \frac{3S}{t_{общее}} = \frac{3S}{\frac{S}{30} + \frac{S}{v_{ср}}} \]
5. Упростим выражение для \( v_{ср} \): \[ v_{ср} = \frac{3}{\frac{1}{30} + \frac{1}{v_{ср}}} \]
6. Теперь найдём \( v_{ср} \): \[ v_{ср} \left( \frac{1}{30} + \frac{1}{v_{ср}} \right) = 3 \] \[ \frac{v_{ср}}{30} + 1 = 3 \] \[ \frac{v_{ср}}{30} = 2 \] \[ v_{ср} = 60\text{ км/ч} \]
7. Скорость автобуса на второй части пути равна \( 2v_{ср} \): \[ v_2 = 2 \cdot 60\text{ км/ч} = 120\text{ км/ч} \]

Ответ: скорость автобуса на второй части пути равна 120 км/ч.