2.7*. Зная, что AB = 8, M — середина отрезка AB, найдите на прямой AB все такие точки X, для которых сумма XA + XB + XM равна 9. Покажите эти точки на рисунке.

Пусть \(M\) — середина отрезка \(AB\). Тогда \(AM=MB=4\). Разобьём прямую на три области.

1. Если \(X\) находится между \(A\) и \(M\), то \(XA+XB+XM=XA+(8-XA)+(4-XA)=12-XA\). Равенство 9 даёт \(XA=3\), поэтому такая точка существует.
2. Если \(X\) находится между \(M\) и \(B\), то \(XA+XB+XM=(4+XM)+(4-XM)+XM=8+XM\). Равенство 9 даёт \(XM=1\), поэтому такая точка существует.
3. Если \(X\) находится вне отрезка \(AB\), сумма расстояний не может быть равна 9.

Следовательно, существуют две точки: одна расположена между \(A\) и \(M\) на расстоянии 3 от \(A\), другая — между \(M\) и \(B\) на расстоянии 1 от \(M\).

Ответ: две точки.