2.8*. Зная, что AB = 8, M — середина отрезка AB, найдите на прямой AB все такие точки X, для которых сумма XA + XB + XM равна 15. Покажите эти точки на рисунке.

Пусть \(AM=MB=4\).

1. Если \(X\) находится между \(A\) и \(M\), то сумма равна \(12-XA\), поэтому она не превышает 12.
2. Если \(X\) находится между \(M\) и \(B\), то сумма равна \(8+XM\), и равенство 15 даёт \(XM=7\). Такая точка находится не между \(M\) и \(B\), поэтому этот случай невозможен.
3. Если \(X\) находится правее \(B\), то \(XA+XB+XM=(XA)+(XB)+(XM)=3XB+8\). Из \(3XB+8=15\) получаем \(XB=\frac73\).
4. Если \(X\) находится левее \(A\), то сумма не может быть равна 15, поскольку при удалении влево она имеет вид \(12+3AX\), и равенство даёт \(AX=1\). Такая точка существует.

Ответ: две точки: одна находится на расстоянии 1 от \(A\) левее точки \(A\), другая — на расстоянии \(\frac73\) от \(B\) правее точки \(B\).