2. AB — перпендикуляр к плоскости, АС — наклонная, ВС — её проекция на плоскость, CD— прямая на плоскости, перпендикулярная прямой ВС. Выполни чертёж и найди ВС, если АС=78 и угол А=30°

Решение:

Дано: AB ⊥ плоскости, AC — наклонная, BC — проекция AC на плоскость. CD ⊥ BC.

Найти: BC, если AC = 78, \( \angle A = 30^{\circ} \).

Так как AB — перпендикуляр к плоскости, то \( \angle BAC = 90^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \sin(\angle A) = \frac{BC}{AC} \]

\[ BC = AC \cdot \sin(\angle A) \]

\[ BC = 78 \cdot \sin(30^{\circ}) = 78 \cdot \frac{1}{2} = 39 \]

CD ⊥ BC, значит, \( \angle BCD = 90^{\circ} \). Так как CD перпендикулярна ВС, а ВС лежит в плоскости, то CD перпендикулярна плоскости, в которой лежит ВС. Но это противоречит тому, что CD - прямая на плоскости.

Условие задачи содержит противоречие: если CD — прямая на плоскости, перпендикулярная прямой BC, то угол между ними 90°. Но если AB — перпендикуляр к плоскости, а BC — проекция AC, то \( \angle ABC = 90^{\circ} \). Если CD лежит в той же плоскости, что и BC, и CD ⊥ BC, то CD и AB — параллельные прямые, перпендикулярные плоскости. Это возможно.

Рисунок:

Ответ: 39.