3. Известно, что FOL(ABC), ABCD — ромб. Постройте и обоснуйте угол между плоскостями (АВС) и (FDC).

Решение:

Дано: FOL ⊥ (ABC), ABCD — ромб.

Найти: угол между плоскостями (ABC) и (FDC).

Построение:

1. Так как FOL ⊥ (ABC), то FO ⊥ BC и OL ⊥ BC. Это означает, что \( \angle FOL = 90^{\circ} \).

2. ABCD — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда AC ⊥ BD.

3. Так как ABCD — ромб, то AB || DC и AD || BC.

4. Рассмотрим плоскость (FDC). Так как ABCD — ромб, то DC || AB. Угол между плоскостями (ABC) и (FDC) будет равен углу между плоскостями (ABC) и (ABF).

5. Проведем прямую FK ⊥ DC, где K — точка на DC. Тогда \( \angle FKO \) — линейный угол искомого угла.

Обоснование:

1. Угол между двумя плоскостями — это угол между двумя прямыми, перпендикулярными линии их пересечения в одной и той же точке.

2. Линия пересечения плоскостей (ABC) и (FDC) — прямая DC.

3. Проведем прямую OK, перпендикулярную DC. Так как ABCD — ромб, то диагональ BD ⊥ DC. O — точка пересечения диагоналей. Значит, OK лежит на BD и OK ⊥ DC.

4. Проведем прямую FK, перпендикулярную DC. Тогда FK ⊥ DC. Мы ищем угол между FK и OK.

5. Вспомним, что FOL ⊥ (ABC). Значит, FO ⊥ BC и OL ⊥ BC. В ромбе BC || AD. Значит, FO ⊥ AD и OL ⊥ AD. Также диагонали ромба перпендикулярны, AC ⊥ BD.

6. Пусть \( \angle FDC = \alpha \). Тогда искомый угол — это угол между плоскостями (ABC) и (FDC).

7. Построим плоскость, перпендикулярную DC. Эта плоскость содержит FO и OL. Угол между плоскостями (ABC) и (FDC) будет равен углу между плоскостями (ABC) и (FDC).

8. Так как ABCD — ромб, то DC || AB. Угол между плоскостями (ABC) и (FDC) равен углу между плоскостями (ABC) и (FAB).

9. Проведем OK ⊥ DC. Тогда OK — часть диагонали BD. Угол между плоскостями — это угол между FK и OK, где FK ⊥ DC.

Вывод: Для нахождения угла между плоскостями (ABC) и (FDC), нужно построить две перпендикулярные к линии их пересечения (DC) прямые, лежащие в этих плоскостях. OK — перпендикуляр к DC, так как OK лежит на диагонали BD ромба, а диагонали ромба перпендикулярны сторонам. FK — перпендикуляр к DC. Угол между плоскостями равен \( \angle FKO \).