2. ABCD — параллелограмм. AB = 10, ∠A = 30°, BK = 4, BK ⟂ CD, K ∈ CD. Найти: AD, DK, S₍ABCD₎.

Так как CD ∥ AB и BK ⟂ CD, отрезок BK — высота параллелограмма к основанию AB. Поэтому площадь равна:

\(S_{ABCD}=AB\cdot BK=10\cdot4=40\).

Высота параллелограмма к основанию AD равна \(AB\sin30^\circ=5\). Тогда \(40=AD\cdot5\), откуда \(AD=8\).

Для нахождения DK рассмотрим проекции на направление CD. Угол между AB и AD равен 30°, поэтому проекция AB на AD равна \(10\cos30^\circ=5\sqrt3\). Отрезок от A до проекции K на AD равен \(AD-DK\), а из прямоугольного треугольника ABK проекция AB на AD составляет 5√3; эквивалентно, по прямоугольному треугольнику BDK и высоте BK получаем \(DK=10-4\sqrt3\).

Ответ: AD = 8, DK = 10 − 4√3, S₍ABCD₎ = 40.