5. ABCD — прямоугольник, BC = 8. Точка O — пересечение диагоналей, E лежит на AC, ED ⟂ AC, ∠CAD = 30°. Найти: ∠CDE, S₍ABO₎, S₍BCO₎.

Треугольник CDE прямоугольный при E. Поскольку AC образует с горизонтальной стороной AD угол 30°, перпендикуляр ED образует с вертикальной стороной DC угол 30°. Поэтому ∠CDE = 30°.

Высота прямоугольника \(AB=BC\tan30^\circ=8/\sqrt3\). Диагонали прямоугольника делятся пополам, поэтому расстояние от O до стороны AB равно половине BC, то есть 4, а расстояние от O до BC равно половине AB.

\(S_{ABO}=\frac12\cdot AB\cdot4=\frac12\cdot\frac8{\sqrt3}\cdot4=\frac{16}{\sqrt3}\).

\(S_{BCO}=\frac12\cdot BC\cdot\frac{AB}{2}=\frac12\cdot8\cdot\frac4{\sqrt3}=\frac{16}{\sqrt3}\).

Ответ: ∠CDE = 30°, S₍ABO₎ = S₍BCO₎ = 16/√3 = 16√3/3.