2 часть. 1. В четырёхугольнике ABCD ∠BAC = ∠DCA, ∠DAC = ∠BCA. Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники BAC и DCA. По условию \(\angle BAC=\angle DCA\) и \(\angle BCA=\angle DAC\); сторона AC у них общая. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следует, что \(\angle BAC=\angle DCA\) и \(\angle BCA=\angle DAC\) являются равными накрест лежащими углами при секущей AC. Поэтому \(AB\parallel CD\) и \(BC\parallel AD\).

У четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.