2. Через середину О отрезка АВ проведена прямая, перпендикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка Х этой прямой одинаково удалена от точек А и В

Решение:

Пусть дана прямая, проходящая через середину О отрезка АВ и перпендикулярная ему. Возьмём на этой прямой произвольную точку X.

Рассмотрим треугольники AOX и BOX.

• AO = OB (по условию, O — середина AB)
• \(\angle AOX = \angle BOX = 90^{\circ}\) (по условию, прямая перпендикулярна AB)
• OX — общая сторона для обоих треугольников.

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), \(\triangle AOX = \triangle BOX\).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

AX = BX.

Это означает, что каждая точка X прямой, перпендикулярной отрезку AB и проходящей через его середину, одинаково удалена от точек A и B.

Доказано.